Frequenzgang eines LZI-Systems

Amplitudengang und Phasengang

Im vorigen Abschnitt haben wir folgendes festgestellt:

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Ein harmonisches Eingangssignal der Kreisfrequenz $\omega$ wird durch ein stabiles LZI-System mit der Übertragungsfunktion $G(s)$ - nach einem Einschwingvorgang - lediglich um den Faktor $\left|G(j\omega)\right|$ verstärkt und um den Phasenwinkel $\angle G(j\omega)$ nach links verschoben.

Zwei wichtige Beobachtungen:

Bei $|G(j\omega)|$ und $\angle G(j\omega)$ handelt es sich gerade um den Betrag und die Phase der komplexen Zahl $G(j\omega)$ . Um die Antwort eines Systems mit bekannter Übertragungsfunktion $G(s)$ auf ein harmonisches Signal mit Kreisfrequenz $\omega$ zu ermitteln, müssen wir also nur die komplexe Zahl $G(j\omega)$ in Polarkoordinaten ermitteln.

Das Systemverhalten ist frequenzabhängig, d.h. die Amplitudenverstärkung $|G(j\omega)|$ und die Phasenverschiebung $\angle G(j\omega)$ sind je nach Kreisfrequenz $\omega$ der Anregung im Allgemeinen unterschiedlich groß. Es macht daher Sinn, sie jeweils als Funktion von $\omega$ zu verstehen.

Definition: Frequenzgang

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Für ein LZI-System mit der Übertragungsfunktion $G(s)$ definiert man:

Der Amplitudengang $A(\omega)$ beschreibt die Abhängigkeit der Amplitudenverstärkung von der Kreisfrequenz $\omega$ :

A(\omega) = |G(j\omega)|

Der Phasengang $\varphi(\omega)$ beschreibt die Abhängigkeit der Phasenverschiebung von der Kreisfrequenz $\omega$ :

\varphi(\omega) = \angle G(j\omega)

Gemeinsam bilden sie den Frequenzgang $G(j\omega)$ .

Beispiel:

Reaktion des PT1-Glieds auf harmonische Anregung

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An ein RC-Glied mit $R=1{,}69\,k\Omega$ , $C=470\,\mu F$ und der Übertragungsfunktion $G(s)=\frac{1}{RC\cdot s + 1}$ legen wir die Eingangsspannung $u(t)=5\cdot\sin(4t)$ an. Da das System übertragungsstabil ist, wird sich nach einer Weile die Ausgangsspannung

\begin{align*} u_C(t) &= 5 \cdot \left|G(j\omega)\right|\cdot\sin\bigl(\omega t + \angle G(j\omega)\bigr) \\ & = 5 \cdot \underbrace{ \left|\tfrac{1}{R\cdot C\cdot 4j+1}\right| }_{\approx 0{,}30} \cdot\sin\bigl(\omega t + \underbrace{\angle \tfrac{1}{R\cdot C\cdot 4j+1}}_{\approx -1{,}27\approx-73^\circ} \bigr) \end{align*}

einstellen. Das Eingangssignal wird also in seiner Amplitude um den Faktor 0,3 auf ca. 1,5V abgeschwächt und um ca. 73° verzögert.

Der Frequenzgang kann nicht nur mithilfe physikalischer Modellierung (Aufstellen der DGL und Ermittlung der ÜF) ermittelt werden, sondern auch experimentell!

Dazu wird das System mit verschiedenen Frequenzen $\omega_i$ angeregt, also mit je einem Eingangssignal der Form $u(t)=\sin(\omega_i t)$ , und die jeweils resultierende Verstärkung $A_i$ und Phasenverschiebung $\varphi_i$ gemessen.

Anschließend kann man versuchen, die Übertragungsfunktion (falls sie analytisch benötigt wird) aus den Messdaten abzulesen, d.h. zu identifizieren.

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Im nächsten Abschnitt lernst Du eine grafische Darstellungsmöglichkeit des Frequenzgangs kennen: Die Nyquist-Ortskurve.

Frequenzgang eines LZI-Systems

Amplitudengang und Phasengang

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