Frequenzgang eines LZI-Systems

Konstruktion des Bode-Diagramms aus einer gebrochen rationalen Übertragungsfunktion

In diesem Abschnitt lernst Du, wie Du das Bode-Diagramm einer gebrochen rationalen Übertragungsfunktion

von Hand konstruieren kannst.

Die Grundidee besteht darin, die Übertragungsfunktion in ihre einzelnen Faktoren zu zerlegen:

• den Vorfaktor $K_V$,
• die Linearfaktoren im Zähler $s-\eta_i$,
• die Linearfaktoren im Nenner $s-p_i$.

Wenn wir verstehen, wie der Frequenzgang dieser Bestandteile jeweils für sich genommen aussieht, und wenn wir wissen, was bei der Multiplikation passiert, dann können wir den Frequenzgang der gesamten Übertragungsfunktion daraus ableiten.

Frequenzgang einer Reihenschaltung

Daher untersuchen wir zunächst den Effekt einer Multiplikation zweier ÜFen:

Da der Amplitudengang im Bode-Diagramm logarithmisch (in ) dargestellt wird, betrachten wir

Der Amplitudengang der Serienschaltung in Dezibel ergibt sich somit als Summe der einzelnen Amplitudengänge, wenn diese jeweils in Dezibel betrachtet werden.

Weil sich bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen deren Phasen addieren, gilt für den Phasengang analog:

Dieser ergibt sich also ebenfalls als Summe der beiden einzelnen Phasengänge!

Fazit: Frequenzgang einer Reihenschaltung

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Bei der Hintereinanderschaltung zweier LZI-Systeme addieren sich Amplituden- und Phasengang der Einzelsysteme im Bode-Diagramm jeweils auf.

Einfluss des Vorfaktors

Der konstante Vorfaktor $K_V$ lässt sich als P-Glied mit der ÜF $G(s)=K_V$ verstehen.

Dessen Amplitudenverstärkung ist frequenzunabhängig und beträgt $|G(j\omega)|=K_V$, die Phasenverschiebung ist ebenfalls konstant $\angle G(j\omega) = 0$ für positives $K_V>0$ bzw. 180° für negatives $K_V<0$.

Fazit: Einfluss des Vorfaktors

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Der Vorfaktor bewirkt im Bode-Diagramm nur die Verschiebung der Amplitude um $20\log_{10}|K_V|$.

Für negatives $K_V$ ändert sich zusätzlich die Phase um 180°.

Einfluss von Nullstellen

Als nächstes untersuchen wir den Beitrag eines Zähler-Linearfaktors

zum Frequenzgang des Gesamtsystems $G(s)$.

Wieder betrachten wir nur $s=j\omega$ und sehen: $Z(s)=s-\eta_i = -\eta_i + j\omega$ ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil $-\eta_i$ und Imaginärteil $\omega$.

Beitrag zum Amplitudengang

Ihr Betrag ist gerade durch den Pythagoras gegeben:

Spiele im interaktiven Diagramm mit der Nullstelle $\eta$ und der Kreisfrequenzen $\omega$:

Nun achte auf diese drei Sonderfälle:

1. Kleine Frequenz

Für sehr kleines $\omega\ll|\eta_i|$ ist der Imaginärteil zu vernachlässigen und die Hypotenuse ist ungefähr so groß wie der Betrag der Nullstelle:

Für Frequenzen, die im Bode-Diagramm deutlich weiter links liegen als $\omega=|\eta_i|$ verhält sich der Linearfaktor also fast wie ein konstanter Faktor (vgl. $K_V$ oben), weil sie fast unabhängig vom genauen Wert der Kreisfrequenz $\omega$ ist.

2. Grenzfrequenz (auch Eckfrequenz oder Knickfrequenz)

In der sogenannten Grenzfrequenz $\omega=|\eta_i|$ sind Real- und Imaginärteil identisch (wie bei einem Geodreieck). Somit ist

Hier bewirkt der Linearfaktor eine Erhöhung um ziemlich genau 3dB nach oben.

3. Große Frequenzen

Für sehr großes $\omega\gg|\eta_i|$ dominiert der Imaginärteil und es ist

Weit rechts im Bode-Diagramm, d.h. wieder in ausreichender Entfernung von $\omega=|\eta_i|$, gilt also: Eine Verdopplung der Frequenz führt zur Verdopplung des Betrags, eine Verzehnfachung führt zur Verzehnfachung. In der doppelt-logarithmischen Darstellung des Amplitudengangs entsteht dadurch eine Gerade mit konstanter Steigung; diese beträgt 20dB nach oben (Faktor 10) pro Dekade (ein anderes Wort für Faktor 10).

Beitrag zum Phasengang

Den Beitrag eines Linearfaktors $(j\omega-s_i)$ zum Phasengang können wir uns anhand des interaktiven Diagramms oben ebenfalls überlegen. Dabei fällt auf, dass das Vorzeichen von $\eta$, das für den Betrag keine Rolle gespielt hat, nun einen Unterschied macht:

• Für $\eta<0$ verläuft die Ortskurve $Z(j\omega)=j\omega-\eta$ im ersten Quadranten nach oben: Der Strahl $Z(j\omega)$ zeigt für $\omega=0$ nach rechts (0°) und dreht sich mit steigendem $\omega$ nach oben bis 90°. Für $\omega=|\eta|$ (Geodreieck) beträgt der Winkel 45°.
• Für $\eta>0$ liegt die Ortskurve $Z(j\omega)=j\omega-\eta$ im zweiten Quadranten: Für $\omega=0$ liegt $Z(j\omega)$ genau links (180°) und dreht sich mit steigendem $\omega$ rückwärts nach oben bis 90°. In der Eckfrequenz $\omega=\eta$ beträgt der Winkel 90°+45°=135°.

Einfluss von Polstellen

Um die Ortskurve eines Pols, also Linearfaktors im Nenner, herzuleiten, können wir direkt auf die obigen Überlegungen zurückgreifen. Der Unterschied liegt darin, dass wir nun durch den Linearfaktor im Nenner dividieren müssen.

Dadurch hat er genau den gegenteiligen Effekt:

• Der Betrag wird durch den Betrag von $|s-p_i|$ geteilt; in der Dezibel-Skala bedeutet das Subtraktion.
• Die Phase muss ebenfalls subtrahiert werden.

Das bedeutet: Wo eine Nullstelle für hohe Frequenzen eine zunehmende Verstärkung bewirkt (Knick um 20dB/Dekade nach oben), führt der Pol zur entsprechenden Verringerung der Amplitude, d.h. zu einem Knick um 20dB/Dekade nach unten.

Zusammenfassung

Vorgehen zur Konstruktion des Bode-Diagramms

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Gegeben: $G(s) = K_V\cdot\dfrac{(s-\eta_1)(s-\eta_2)\cdots(s-\eta_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}$

1. Vorbereitung:
   • Pole $p_i$ ablesen und jeweils zugehörige Eckfrequenz $|p_i|$ ermitteln.
   • Nullstellen $\eta_i$ ablesen und jeweils zugehörige Eckfrequenz $|\eta_i|$ ermitteln.
   • Verstärkungsfaktor $K_V$ ablesen.
2. Amplitudengang:
   • Jede Nullstelle $\eta_i$ bewirkt einen Knick um 20dB pro Dekade nach oben.
   • Jeder Pol $p_i$ bewirkt einen Knick um 20dB pro Dekade nach unten.
3. Phasengang:
   • Links gelegene Nullstelle $\eta_i<0$: 90° Anstieg an der Eckfrequenz.
   • Nullstelle in $\eta_i=0$: Anhebung um 90° für alle $\omega$ (vgl. D-Glied).
   • Rechts gelegene Nullstelle $\eta_i>0$: Abfall um 90°, ausgehend von 180°.
   • Links gelegener Pol $p_i<0$: 90° Abfall an der Eckfrequenz.
   • Pol in $p_i=0$: Absenkung um 90° für alle $\omega$ (vgl. I-Glied).
   • Rechts gelegener Pol $p_i>0$: Anstieg um 90°, ausgehend von -180°.

Beispiel

Wir wollen das Bode-Diagramm zur Übertragungsfunktion

konstruieren. $G(s)$ besitzt...

• einen Pol $p_1=-0.01$: Eckfrequenz $\omega_1=+0.01$,
• eine Nullstelle $\eta_1=-1$: Eckfrequenz $\omega_2=+1$,
• einen Pol $p_2=-100$: Eckfrequenz $\omega_3=+100$,
• den Verstärkungsfaktor $K_V=1$, d.h. 0dB.

Damit können wir das Bode-Diagramm direkt skizzieren:

Was möchtest Du jetzt machen?

• Ich möchte sehen, wie ich Filter anhand des Bode-Diagramms charakterisieren kann, z.B. als Hochpass oder Tiefpass.